মেৰিনা ভিয়াজভস্কা আৰু উচ্চতৰ মাত্ৰাত কমলাৰ সাজোন

ফল-মূলৰ দোকানলৈ গ’লেই আমি বৰ পৰিপাটি সাজোন এটাত কমলা, মৌচুমী টেঙা আদি সজাই থোৱা দেখিবলৈ পাওঁ । সাধাৰণতে এইধৰণৰ ফলবোৰ তলৰ ফালে কিছু বেছি পৰিমাণে ৰাখি ক্ৰমান্বয়ে ওপৰলৈ কমাই অনা এটা পিৰামিডীয় সাজোনত ৰখা হয় । আমি সকলোৱে দেখা এই সাজোনটোৰে ফলবোৰ ৰাখি থোৱাৰ কাৰণটোনো কি বাৰু? এটা কথা সহজে অনুমান কৰিব পাৰি যে তেনেকৈ ৰখালে দেখিবলৈ এটা সুন্দৰ গঢ় হয় আৰু ওপৰৰ পৰা ফলবোৰ ক্ৰমান্বয়ে বিক্ৰী কৰি যাবলৈও সুবিধা । কিন্তু তাৰ বাহিৰেও বিশেষ কিবা সুবিধা আছে নেকি?

x21_aamt7316942325476339968.jpg

ফটো উৎস- https://experimentalmath.info

…আছে ! সদায় দেখিও হয়তো আপুনি-মই আন্দাজ কৰি নোৱাৰা এটা ডাঙৰ সুবিধা এই সাজোনটোতে আছে । সেয়া হৈছে যে তেনেকুৱা সাজোনত ৰাখি আপুনি কম আয়তনতে সৰ্বাধিক পৰিমাণে কমলা (বা আন যিকোনো গোলাকৃতিৰ ফল) ৰাখিব পাৰিছে । অৰ্থাৎ তেনে সাজোন এটাত ৰখাৰ ফলত গোলাকাৰ কমলাবোৰৰ মাজত থকা ফাঁকবোৰে সবাতোকৈ কম ঠাই আগুৰি আছে ।

সাজোনটোক কেৱল কমলা বা আন গোলাকাৰ বস্তু সজোৱাৰ ধৰণ বুলি কৈ থকাতকৈ তাৰ গঠনটো প্ৰথমে থূলমূলকৈ ব্যাখ্যা কৰি লোৱা যাওঁক । প্ৰথমে কেইটামান সম-আকাৰৰ গোলক এখন সমতলত এখন মৌচাকৰ আকৃতিত সজাই ল’ব লাগিব । মন কৰিব যে মৌচাকৰ আকৃতিত সজালে মাজৰ প্ৰতিটো গোলকক চাৰিওকাষে ছয়টা গোলকে আগুৰি থাকিব । যদি মৌচাকৰ গঠনশৈলীটো পৰিচিত নহয়, তেনেহ’লে কেৰমব’ৰ্ডত ৰঙাগুটিটোৰ চাৰিওফালে আনবোৰ গুটি সজোৱাৰ ধৰণটো মনত পেলাওক । কমলাবোৰ সাধাৰণতে সমান আকাৰ আৰু সম্পূৰ্ণ গোলাকৃতিৰ নহয় বাবে কেইটামান টেনিছ বল ল’লে বেছি ভাল । এনেদৰে সজোৱাৰ ফলত ওচৰা-ওচৰিকৈ থকা প্ৰতি তিনিটা গোলকৰ মাজতে একো একোটা ফাঁক বা ৰন্ধ্ৰৰ সৃষ্টি হ’ব । এনেকুৱা যিবোৰ ৰন্ধ্ৰৰ সৃষ্টি হৈছে, তাত বহাকৈ গোলকৰ দ্বিতীয় তৰপটো ৰাখিব লাগিব । এইখিনিলৈ হাতে-কামে কৰি চালে দেখিব যে দ্বিতীয় তৰপটোৰ ওপৰত এতিয়া দুই ধৰণৰ ৰন্ধ্ৰৰ সৃষ্টি হৈছে । ইয়াৰে যিকেইটা ৰন্ধ্ৰ প্ৰথম তৰপৰ গোলকৰ ওপৰত পৰিছে, সেইবোৰক চতুস্ফলকীয় ৰন্ধ্ৰ (Tetrahedral void) বোলা হয় । আকৌ দ্বিতীয় তৰপটোৰ যিকেইটা ৰন্ধ্ৰ প্ৰথম তৰপৰো ৰন্ধ্ৰৰ ওপৰে ওপৰে পৰিছে, সেইবোৰক অষ্টফলকীয় ৰন্ধ্ৰ (Octahedral void) বোলা হয় । ইয়াৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি তৃতীয় তৰপত দুইধৰণে গোলক ৰাখিব পাৰি । যদি চতুস্ফলকীয় ৰন্ধ্ৰবোৰ পূৰ হোৱাকৈ গোলকবোৰ ৰখা হয়, তেতিয়া প্ৰথম আৰু তৃতীয় তৰপটো সম্পূৰ্ণ একে হ’ব । গতিকে প্ৰথম তৰপটোক A আৰু দ্বিতীয় তৰপটোক B ৰে বুজালে গোটেই সাজোনটো ABABAB… প্ৰকাৰৰ হ’ব । এইধৰণৰ সাজোনকে ষড়ভুজীয় বন্ধ সাজোন (Hexagonal close packing বা চমুকৈ hcp) বোলে । আকৌ যদি তৃতীয় তৰপটোত অষ্টফলকীয় ৰন্ধ্ৰবোৰ পূৰ হোৱাকৈ গোলকবোৰ ৰখা হয়, তেতিয়া এই তৰপটো প্ৰথম দুটা তৰপৰ লগত নিমিলিব । চতুৰ্থ তৰপটোহে প্ৰথমটোৰ লগত সম্পূৰ্ণ একে হ’ব । অৰ্থাৎ তৰপৰ সংখ্যা বঢ়াই গ’লে সম্পূৰ্ণ সাজোনটো ABCABC… প্ৰকাৰৰ হ’ব । এইধৰণৰ সাজোনক পৃষ্ঠকেন্দ্ৰীক ঘনকীয় সাজোন (Face centered cubic বা চমুকৈ fcc) বোলা হয় ।

চতুস্ফলকীয় আৰু অষ্টফলকীয় ৰন্ধ্ৰৰ গঠন । ছবিখনৰ বৃত্তকেইটাই আচলতে একো একোটা গোলক বুজাইছে

ষড়ভুজীয় বন্ধ সাজোন (hcp) আৰু পৃষ্ঠকেন্দ্ৰীক ঘনকীয় সাজোনৰ (fcc) গঠনচিত্ৰ (মূল ফটো উৎস- http://www.tophat.com)

এইখিনিতে আৰু এটা কথা উল্লেখ কৰা প্ৰয়োজন যে hcp বা fcc সাজোন দুটা নিয়মিত সাজোনৰ (Regular Packing) অন্তৰ্গত । অৰ্থাৎ সাজোনটোৰ গঠনশৈলী সুষম বা প্ৰতিটো অংশতে একে । বজাৰত দেখা কমলাৰ সাজোনটো আচলতে এই fcc সাজোনটোৱেই । কিছু জ্যামিতি লগাই এই hcp আৰু fcc উভয়তে মুঠ আয়তনৰ প্ৰায় ৭৪.০৪৮ % ঠাই গোলকে আগুৰি থাকে বুলি দেখুৱাব পাৰি । বাকী প্ৰায় ২৬ শতাংশ ঠাই গোলকবোৰৰ মাজৰ ফাঁক বা ৰন্ধ্ৰবোৰে দখল কৰিব (উচ্চতৰ মাধ্যমিক শ্ৰেণীৰ ৰসায়ন বিজ্ঞানত বিভিন্ন ক্ৰিষ্টেল বা স্ফটিকীয় পদাৰ্থৰ গঠনসম্পৰ্কে ব্যাখ্যা কৰোতে hcp, fcc আদি সাজোনবোৰৰ বিশদ বৰ্ণনা দিয়া আছে । আণৱিক পৰ্য্যায়ত নিমখ, চেনি আদি স্ফটিকীয় পদাৰ্থবোৰো এইধৰণৰ নিয়মিত সাজোনেৰেই গঠিত) ।

কিন্তু এই নিয়মিত সাজোনকেইটাৰ বাহিৰেও একো ধৰা-বন্ধা নোহোৱাকৈ সজাই থ’ব পৰা অসংখ্য উপায় ওলাব । উদাহৰণস্বৰূপে যদি আপুনি বাকচ বা কাৰ্টন এটাত হুৰ-মূৰকৈ এসোপা কমলা ঢালি দিয়ে, তেতিয়া বাকচটোৰ ভিতৰত কমলাকেইটা একো নিৰ্দিষ্ট সজ্জাত নাথাকে । এইটো এটা অনিয়মিত সাজোনৰ (Irregular Packing) উদাহৰণ । পৰীক্ষা কৰি দেখা গৈছে যে এনেধৰণৰ অনিয়মিত সাজোনবোৰত গড় হিচাপত প্ৰায় ৬৪ শতাংশ আয়তনহে গোলকবোৰে আগুৰি লয় । এতিয়া মন কৰিবলগীয়া কথাটো হ’ল- এনেধৰণৰ অসংখ্য অনিয়মিত সাজোনৰ কেইটামান সাজোনৰ ধাৰণ ক্ষমতাও (efficiency) প্ৰায় বজাৰৰ কমলাৰ সাজোনটোৰ সমান হ’ব পাৰে । কিন্তু তাতকৈ বেছি নহয় । যিয়েই নহওক, লেখাটোৰ পৰৱৰ্তী অংশত কমলাৰ সাজোন বুলিলে বজাৰৰ চিনাকি সাজোনটো বা আন কথাত ওপৰোক্ত নিয়মিত সাজোন দুটাকহে বুজোৱা হ’ব ।

অন্ততঃ ফল-মূলৰ দোকানীবোৰে কমলাৰ সাজোনটোৰ গুৰুত্ব উপলব্ধি নকৰিলেও গণিতৰ ফালৰ পৰা এইটো খুব উল্লেখযোগ্য । গণিতজ্ঞসকলৰ বাবে এয়া বৰ আগ্ৰহৰ বিষয়, যাৰ ফলস্বৰূপে এই সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰা অংশটোক গণিতত গোলকীয় সাজোন (Sphere Packing) বুলি কোৱা হয় । গোলকীয় সাজোন শাখাটোৰ মূল উদ্দেশ্য হৈছে ইউক্লিডীয় স্থানৰ যিকোনো এটা মাত্ৰাত বহুতো সমান আকাৰৰ গোলক কেনেকৈ সজালে সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ (efficient) সাজোনটো পোৱা যাব, সেয়া নিৰ্ণয় কৰা । সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূধৰণে সজোৱাৰ অৰ্থ হৈছে সেই বিশেষ সাজোনটোত সম আকাৰৰ গোলকবোৰে মুঠ আয়তনৰ সৰ্বাধিক অংশ আগুৰি থাকিব লাগিব, বা আন কথাত সাজোনটো সৰ্বাধিক ঘনত্বৰ হ’ব লাগিব । সমস্যাটোৰ মূল উদ্দেশ্যক সুস্পষ্ট ৰূপ দিবলৈ এয়া ধৰি লোৱা হয় যে প্ৰতিটো সাজোনে একোটা বিস্তৃত পৰিসৰ আগুৰি থাকে । নহ’লে একেটা সাজোনৰে ঘনত্ব অংশভেদে বেলেগ বেলেগ হ’ব পাৰে !

সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন সম্পৰ্কে ওপৰত উল্লেখ কৰা কথাখিনি বুজিবলৈ বিশেষ টান নহয় । পিছে বুজিবলৈ খুব সহজ যেন লগা কথা এটাও কেতিয়াবা যুক্তিসহকাৰে বা গণিতৰ প্ৰয়োগ কৰি প্ৰমাণ কৰিবলৈ কঠিন হৈ পৰে । গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোও ঠিক তেনে এটা কঠিন সমস্যা । ওপৰত মই কমলাৰ সাজোন বা hcp, fcc আদিৰ দৰে দুটামান নিয়মিত সাজোনক তিনি মাত্ৰাত সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন বুলি উল্লেখ কৰি আহিছোঁ । কাৰণ সেই কথাটো ইতিমধ্যে প্ৰমাণিত হৈছে । পিছে সেয়া প্ৰমাণ কৰি উলিওৱাটো ইমান সহজ কাম নাছিল । মানুহে কথাটো প্ৰথম ভাবিবলৈ লোৱাৰ পৰা ইয়াৰ প্ৰমাণ হোৱালৈ জড়িত হৈ আছে এক চাৰিশ বছৰীয়া সুদীৰ্ঘ পৰিক্ৰমা !

বজাৰৰ কমলাৰ সাজোনটোৰেই ধাৰণ ক্ষমতা বেছি- কথাষাৰ প্ৰথম অনুমান কৰিছিল কেপলাৰে (ফটো উৎস- ৱিকিপেডিয়া কমনছ্)

১৬১১ চনত প্ৰখ্যাত জ্যোতিৰ্বিদ আৰু গণিতজ্ঞ কেপলাৰে প্ৰথম কৈছিল যে কমলাৰ সাজোনটোৱেই তিনি মাত্ৰাৰ সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন । তেওঁ কৈছিল যে নিয়মিত বা অনিয়মিত এনে একো সাজোন নাই, যাৰ ধাৰণ ক্ষমতা কমলাৰ সাজোনৰ ধাৰণ ক্ষমতাতকৈ বেছি । কিন্তু তেওঁ ইয়াৰ কোনো প্ৰমাণ দি নোযোৱাত সেইটো তেতিয়াৰ পৰা ‘কেপলাৰৰ অনুমান’ (Kepler’s Conjecture) বুলি পৰিচিত হৈ ৰ’ল ! ইয়াৰ পিছত ১৮৩১ চনত মহান জাৰ্মান গণিতজ্ঞ কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিক গাউছে প্ৰমাণ কৰি দেখুৱাইছিল যে সকলোবোৰ নিয়মিত সাজোনৰ ভিতৰত কমলাৰ সাজোনটোৰ ধাৰণ ক্ষমতা সৰ্বাধিক হোৱাটো সঁচা । কিন্তু সেয়া সম্পূৰ্ণ সমাধান নহয় । গোলাকাৰ বস্তু সজাই থ’ব পৰা অনিয়মিত সাজোনৰ কোনো সীমা নাই । গতিকে সেই অসংখ্য অনিয়মিত সাজোনবোৰৰ মাজৰ যিকোনো এটা সাজোনতো যদি ধাৰণ ক্ষমতা ৭৪.০৪৮ শতাংশতকৈ বেছি হৈ যায়? গতিকে কেপলাৰৰ অনুমানটো সঁচা হ’বলৈ হ’লে ইয়াৰ প্ৰমাণটোৱে আটাইবোৰ অনিয়মিত সাজোনৰ ধাৰণ ক্ষমতাও কমলাৰ সাজোনৰ সীমাটো চেৰাই নাযায় বুলি নিশ্চিতি দিব লাগিব !

অৱশেষত ১৯৯৮ চনত ইউনিভাৰ্ছিটি অৱ্ পিটছবাৰ্গৰ গণিতৰ অধ্যাপক থমাছ হেল্ছে প্ৰায় ২৫০ পৃষ্ঠাজোৰা গৱেষণা পত্ৰিকা এখনেৰে ইয়াৰ সমাধান দাঙি ধৰে । তেওঁৰ প্ৰমাণৰ পদ্ধতিটো আছিল তিনি মাত্ৰাত সম্ভাৱ্য প্ৰতিটো সাজোনক (নিয়মিত আৰু অনিয়মিত) অধ্যয়নৰ আওতালৈ অনা আৰু সেইবোৰৰ ধাৰণ ক্ষমতা কেপলাৰৰ সীমাতকৈ কম হ’লে সেইবোৰক এটা এটাকৈ বাদ দিয়া । কিন্তু নিয়মিত আৰু অনিয়মিত সাজোনৰ মুঠ সংখ্যা ইমান বেছি যে মানুহে নিজেই প্ৰতিটো সাজোনক চালি-জাৰি চোৱাটো প্ৰায় অসম্ভৱ । গতিকে হেল্ছৰ প্ৰমাণটোৰ লগত জড়িত হৈ আছিল এক বিয়াগোম পৰিমাণৰ কম্পিউটাৰ গণনা !

১৯৯৮ চনৰ ছেপ্টেম্বৰ মাহত হেল্ছে তেওঁৰ গৱেষণা পত্ৰখন ‘Annals of Mathematics’ নামৰ জাৰ্নেলখনলৈ পঠিয়াই দিছিল । কিন্তু বিচাৰকসকলে হেল্ছৰ এই দীঘলীয়া প্ৰমাণটো পৰ্য্যৱেক্ষণ কৰোতে যথেষ্ট বেছি সময় লগাত তেওঁলোকৰ পূৰ্বৰ নীতি-নিয়মবোৰৰ কিছু সালসলনি ঘটায় । এই নতুন নীতি অনুসৰি অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ উপপাদ্যবোৰৰ ক্ষেত্ৰত তেওঁলোকে কম্পিউটাৰৰ সহায় লৈ আগবঢ়োৱা প্ৰমাণো গ্ৰহণ কৰিবলৈ সাজু । এনেবোৰ ক্ষেত্ৰত মানুহে কৰা অংশখিনিহে তেওঁলোকে পুংখানুপুংখভাৱে বিশ্লেষণ কৰিব । কম্পিউটাৰে কৰা অংশখিনি তন্ন-তন্নকৈ পৰীক্ষা-কৰা নহয়, কেৱল সেই অৱশিষ্ট অংশখিনি কৰিবলৈ কম্পিউটাৰক সঠিকভাৱে নিৰ্দেশনা দিয়া হৈছেনে নাই সেইটোহে চালি-জাৰি চাব । এনেদৰে নিয়মবোৰ কিছু শিথিল কৰি বিচাৰকসকলে ২০০৫ চনৰ আগষ্ট মাহত হেল্ছৰ প্ৰমাণটো ৯৯ শতাংশ পৰ্য্যন্ত শুদ্ধ বুলি স্বীকৃতি দিছিল । ইয়াৰ মাজতে হেল্ছে ২০০৩ চনত আৰম্ভ কৰা ‘ফ্লাইস্পেক’ নামৰ দলীয় প্ৰকল্প এটাৰ সহায়ত স্বয়ংক্ৰিয় পৰীক্ষক ছফটৱেৰ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণটো সম্পূৰ্ণ আসোঁৱাহমুক্ত কৰিবলৈ উঠি-পৰি লাগে । ফ্লাইস্পেক (Flyspeck) শব্দটোৰ F, P আৰু K বৰ্ণৰে ‘Formal Proof of Kepler’ বুজায় । অৱশেষত যোৱা ২০১৪ চনতহে তেওঁ এই প্ৰকল্পটোৰ সহায়ত প্ৰমাণটো ১০০ শতাংশ নিখুঁত বুলি আনুষ্ঠানিকভাৱে ঘোষণা কৰে । এইদৰে প্ৰায় চাৰিশ বছৰ পুৰণি কেপলাৰৰ অনুমানটো শেহতীয়াকৈ এটা উপপাদ্যলৈ উন্নীত হ’ল ।

গণিতজ্ঞ থমাছ কেলিষ্টাৰ হেলছ্ (ফটো উৎস-www.quantamagazine.org)

আকৰ্ষণীয় কথাটো হ’ল, গণিতজ্ঞসকলে আমাৰ চৌপাশৰ ত্ৰিমাত্ৰিক বা তাতোকৈ নিম্ন এক-দুই মাত্ৰাতে গৱেষণাৰ ক্ষেত্ৰখন সীমাৱদ্ধ নাৰাখে । কণাৰ লাখুটি হোৱাৰ নিচিনাকৈ আমি মনঃচকুৰে কল্পনা কৰি চাব নোৱাৰা উচ্চতৰ মাত্ৰাবোৰো (higher dimensions) গণিতৰ জৰিয়তে অধ্যয়ন কৰাটো সম্ভৱ । তাতে আকৌ উচ্চতৰ মাত্ৰা অধ্যয়ন কৰাৰ মূল গাণিতিক ভেটিটোও নতুনধৰণৰ নহয় । আমি দ্বিমাত্ৰিক বা ত্ৰিমাত্ৰিক জগত সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰোতে যি গণিতৰ প্ৰয়োগ কৰোঁ, তাৰেই অনুৰূপভাৱে যিকোনো উচ্চতৰ মাত্ৰা অধ্যয়ন কৰাৰ নীতি-নিয়মবোৰ গঢ়ি উঠিছে ।

এটা উদাহৰণ দিওঁ । গোলক বুলি ক’লে আমি কি বুজো বাৰু? সহজ ভাষাত ক’বলৈ গ’লে, এখন ত্ৰিমাত্ৰিক পৃথিৱীত (আমাৰ চৌপাশৰ পৃথিৱীখন) এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি তাৰ চাৰিওফালে সমদূৰত্বত থকা বিন্দুবোৰৰ সংহতিয়েই গোলক । তিনি মাত্ৰাৰ সলনি দুটা মাত্ৰা কৰি দিলে সেইটো গোলক নহৈ এটা বৃত্ত হৈ পৰিব । তেন্তে দশম মাত্ৰাৰ অতিগোলক (তিনিমাত্ৰাতকৈ বেছি মাত্ৰাৰ গোলকক আমি অতিগোলক বা ইংৰাজীত hyper sphere বুলি ক’ম) এটা বুলিলে আমি কি বুজিম? এতিয়া কথাটো পৰিষ্কাৰ যে এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি তাৰ চাৰিওফালে সমদূৰত্বত থকা বিন্দুবোৰ যদি দহটা মাত্ৰাত বিস্তৃত হৈ থাকে, তেনে বিন্দুবোৰৰ সমষ্টিয়েই দশম মাত্ৰাৰ এটা অতিগোলক হ’ব লাগিব । গতিকে দুই মাত্ৰাৰ বৃত্ত আৰু তিনি মাত্ৰাৰ গোলকৰ লগত তুলনা কৰি আমি সহজেই দশম মাত্ৰাৰ অতিগোলক এটাৰো সংজ্ঞা দিব পাৰিলোঁ; মাত্ৰ তেনে এটা অতিগোলক দেখিবলৈ কেনে হ’ব, সেয়া অনুমান কৰাটোহে সাধ্যৰ বাহিৰত ।

একেদৰে হাইস্কুলীয়া গণিতৰ পাঠ্যক্ৰমৰ পৰা আমি জানোঁ যে দ্বিমাত্ৰাৰ সমতলীয় জ্যামিতি অধ্যয়ন কৰিবলৈ আমি স্থানাংক জ্যামিতিত দুটা অক্ষৰ সহায় লওঁ- x আৰু y অক্ষ । সমতলীয় পৃষ্ঠত থকা বিন্দু, ৰেখা, বৃত্ত বা আন যিকোনো আকৃতিৰ সমীকৰণ এই দুটা অক্ষত দুটা স্থানাংক ব্যৱহাৰ কৰি দিব পাৰি । একেদৰে ত্ৰিমাত্ৰিক যিকোনো বস্তুৰ ক্ষেত্ৰত তিনিটা স্থানাংক x, y আৰু z ৰ প্ৰয়োজন হয় । গতিকে দশম মাত্ৰাৰ বিশ্ব এখনত থকা বিন্দু বা অতিগোলক এটাৰ অৱস্থান বুজাবলৈ দহটা স্থানাংকৰ প্ৰয়োজন হ’ব । বা কথাটো সাধাৰণীকৰণ কৰি ক’ব পাৰি যে যিকোনো N-মাত্ৰাৰ বিশ্ব এখনত অৱস্থান কৰা বিন্দু বা অতিগোলক এটাক চিহ্নিত কৰিবলৈ N-টা স্থানাংকৰ প্ৰয়োজন ।

ওপৰত ইতিমধ্যে এবাৰ উল্লেখ কৰি অহা হৈছে যে কমলা সাজোনৰ সমস্যাটোক উচ্চতৰ মাত্ৰাবোৰলৈও সম্প্ৰসাৰণ কৰিব পাৰি । কেৱল উচ্চতৰ মাত্ৰাই নহয়, ইউক্লিডীয় স্থানত নে বক্ৰ স্থানত সমস্যাটো পৰ্য্যালোচনা কৰিছোঁ, তাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰিও সমস্যাটোৰ ভিন ভিন সংস্কৰণ আছে । কিন্তু এই প্ৰৱন্ধটোৰ বিষয়বস্তু ইউক্লিডীয় স্থানতে সীমাৱদ্ধ । গতিকে ইউক্লিডীয় স্থানৰ যিকোনো উচ্চতৰ মাত্ৰাৰ বাবে গোলকীয় সাজোনৰ সমস্যাটো এনেদৰে উপস্থাপন কৰিব পাৰি- ধৰি লওক আপুনি এখন N মাত্ৰাৰ জগতত আছে, আৰু তাৰ কমলাবোৰো N মাত্ৰাবিশিষ্ট একো একোটা অতিগোলক । এনে অতিকমলাকেইটা (?) আপুনি সেই N মাত্ৰাৰ জগতখনত কেনেদৰে সজাই থ’ব যাতে মাজৰ ফাঁকবোৰে সৰ্বনিম্ন ঠাই আগুৰি থাকে, বা আনকথাত সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোনটো পোৱা যায়?

কমলাৰ সাজোন অৰ্থাৎ গোলকীয় সাজোনৰ ত্ৰিমাত্ৰিক সংস্কৰণটোতকৈ উচ্চতৰ মাত্ৰাত সমস্যাটো যথেষ্ট প্ৰত্যাহ্বানপূৰ্ণ । এফালে তেনে মাত্ৰা এটাত আমি নিজ চকুৰে চাই-মেলি অতিগোলকবোৰ সজাব নোৱাৰোঁ, আনফালে মাত্ৰা বঢ়াৰ লগে লগে মুঠ নিয়মিত আৰু অনিয়মিত সাজোনৰ সংখ্যাও অভাৱনীয়ধৰণে বৃদ্ধি পাবলৈ ধৰে । গণিতজ্ঞসকলৰ বাবে অন্য এটা মূৰৰ কামোৰণি হ’ল- প্ৰায়বোৰ মাত্ৰাতে গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোত থকা স্বকীয় বৈশিষ্ট্য ! এটাৰ লগত আনটো মাত্ৰাৰ বিশেষ মিল নাই । ইয়াৰ অৰ্থ এয়াই যে প্ৰায় প্ৰতিটো উচ্চতৰ মাত্ৰাতেই সমস্যাটো সমাধানৰ বাবে পৃথকে আগবাঢ়িব লাগিব । গতিকে হেল্ছে কেইবছৰমান পূৰ্বে ত্ৰিমাত্ৰিক গোলকীয় সাজোনৰ সমস্যাটো সমাধান কৰিলেও আমি আশা কৰাটো ভুল হ’ব যে তেওঁৰ পদ্ধতি অনুসৰণ কৰি চতুৰ্থ বা পঞ্চম মাত্ৰাতো সমস্যাটো সহজে সমাধান কৰিব পৰা যাব । কি ঠিক, হয়তো চতুৰ্থ মাত্ৰাত সমস্যাটো সমাধানৰ বাবে এক সম্পূৰ্ণ নতুন পদ্ধতি উদ্ভাৱনৰো প্ৰয়োজন হ’ব পাৰে (যিটো এতিয়ালৈ সম্ভৱ হৈ উঠা নাই) ।

কিন্তু ইমানখিনি প্ৰত্যাহ্বানৰ মাজতো গণিতজ্ঞসকলৰ বাবে সামান্য আশাৰ বতৰা আনি দিছিল অষ্টম আৰু চতুৰ্বিংশ (২৪তম) মাত্ৰাই । সমস্যাটোত লাগি থকা গণিতজ্ঞসকলে ৮ম আৰু ২৪তম মাত্ৰাত এনে দুটা সমমিত (symmetrical) সাজোনৰ উপস্থিতি ধৰা পেলাইছিল যে সেই মাত্ৰা দুটাত সেই বিশেষ সাজোন দুটাই সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ বুলি প্ৰায় নিশ্চিত হ’ব পাৰি । স্বাভাৱিকতেই এয়া গণিতেৰে ধৰা পেলোৱা কথা, খালী চকুৰে দেখি নহয় । ইয়াৰে অষ্টম মাত্ৰাৰ সুষম সাজোনটোক E_8 জালিকা আৰু চতুৰ্বিংশ মাত্ৰাৰ সাজোনটোক ব্ৰিটিছ গণিতজ্ঞ জন লিচ্ছৰ নামেৰে লিচ্ছ্ জালিকা (Leech lattice) বোলা হয় ।

এতিয়া বহুতৰ মনলৈ আহিব পাৰে, মাজৰ ইমানবোৰ মাত্ৰা বাদ দি কেৱল ৮ম আৰু ২৪তম মাত্ৰাতহে একোটা সমমিত সাজোন বিচাৰি পোৱা গ’ল কিয়? এইটো সম্পূৰ্ণ কাকতালীয় ঘটনা নেকি?…… নহয় ! আচলতে এটা মাত্ৰাতকৈ পৰৱৰ্তী মাত্ৰাৰ জগতখনত গোলকৰ মাজৰ ফাঁকবোৰৰ আকাৰো ক্ৰমান্বয়ে ডাঙৰ হৈ গৈ থাকে । এবাৰ ভাবি চাওঁক, দ্বিমাত্ৰাত ত্ৰিভুজীয় আকাৰত লগালগিকৈ থকা তিনিটা মুদ্ৰাৰ মাজত যিমানখিনি ফাঁক থাকে; তাতোকৈ তিনি মাত্ৰাত ওচৰা-ওচৰি তিনিটা কমলাৰ ওপৰত বহি থকা আন এটা কমলাই মাজত বেছি ফাঁকৰ সৃষ্টি কৰে (সাজোনটোৱে আগুৰা ঠাইৰ তুলনাত ফাঁকবোৰে আগুৰা ঠাইৰ শতাংশ হিচাপত) । এনেদৰে প্ৰতিটো মাত্ৰাতে ফাঁকৰ

মৌচাকৰ চানেকি সদৃশ এই ষড়ভুজীয় সাজোনটো দ্বিমাত্ৰাৰ সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন/চানেকি । ইয়াক চাৰিওফালে বহলাই দিলে বৃত্তবোৰে সাজোনটোৰ মুঠ কালিৰ প্ৰায় ৯১% ঠাই আগুৰি থাকিব

আকাৰ বাঢ়ি গৈ গৈ অষ্টম মাত্ৰাত ফাঁকবোৰৰ আকাৰ এনে পৰ্য্যায় পায়গৈ যে তাত পুনৰাই গোলক ভৰোৱা সম্ভৱ । আৰু সেই ফাঁকত ভৰোৱা গোলককেইটা কাষৰ গোলকবোৰৰ লগত নিকপকপীয়াকৈ লাগি ধৰে । ফলত অষ্টম মাত্ৰাত সেই E_8 জালিকাটো অতি বেছি সুষম আৰু সমমিত হৈ পৰে । একেটা কথাই ২৪ মাত্ৰাৰ লিচ্ছ্ জালিকাৰ ক্ষেত্ৰতো প্ৰযোজ্য ।

পিছে অনুমান বা বিশ্বাসৰ ভেটিত গণিত নচলে । পৰীক্ষামূলকভাৱে এটা কথা হাজাৰবাৰ সত্য বিবেচিত হ’লেও প্ৰমাণ নোহোৱালৈ গণিতত সেয়া শেষ সত্য বুলি ধৰি লোৱা নহয় । ৮ম আৰু ২৪তম মাত্ৰাৰ সাজোন যথাক্ৰমে E_8 জালিকা আৰু লিচ্ছ্ জালিকাও কেইবাদশক ধৰি তেনেকুৱা এটা স্তৰতে আছিল ! এই সাজোন দুটা নিজৰ নিজৰ মাত্ৰাত সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন বুলি গণিতজ্ঞসকল ইমানেই পতিয়ন গৈছিল যে লাহে লাহে প্ৰায়োগিক ক্ষেত্ৰতো সাজোন দুটা কিছুপৰিমাণে ব্যৱহাৰ হ’বলৈ লৈছিল । কিন্তু উপযুক্ত প্ৰমাণৰ অভাৱে তেওঁলোকৰ এই দৃঢ় বিশ্বাসক বহুদিন ধৰি পূৰ্ণতা দিব পৰা নাছিল !

ইয়াৰ মাজতে ২০০৩ চনত মাইক্ৰ’ছফট্ ৰিচাৰ্ছৰ গণিতজ্ঞ হেনৰি কন আৰু হাৰ্ভাৰ্ড বিশ্ববিদ্যালয়ৰ অধ্যাপক ন’ৱাম এল্কিছে যুটীয়াভাৱে প্ৰকাশ কৰা গৱেষণা পত্ৰিকা এখনৰ জৰিয়তে এই সম্পৰ্কে এটা উল্লেখনীয় তথ্য আগবঢ়াইছিল । তেওঁলোকে সমস্যাটোক সাজোনৰ দৃষ্টিৰে নাচাই ‘সহায়কাৰী ফলন’ (auxiliary function) নামৰ এক শ্ৰেণীৰ ফলনৰ ৰূপ দিলে । এই ফলনবোৰৰ এনেকুৱা বিশেষ কিছুমান ধৰ্ম আছে যে ই এটা মাত্ৰাৰ আটাইবোৰ সাজোনক সামৰি ল’ব পাৰে । কন আৰু এল্কিছে আশা প্ৰকাশ কৰিছিল যে উপযুক্ত সহায়ক ফলনটো বিচাৰি পালে অষ্টম আৰু চতুৰ্বিংশ মাত্ৰাত সমস্যাটোৰ সমাধান অতি সহজেই সম্ভৱ হ’ব । কিন্তু সেই বিশেষ ফলনটো কেনেকৈ বিচৰা যায়, তাৰহে কোনো ধাৰণা কাৰো ওচৰত নাই !

এনে এটা প্ৰেক্ষাপটতে প্ৰৱন্ধটোৰ মূল আলোচ্য গণিতজ্ঞ মেৰিনা ভিয়াজভস্কাই গোলকীয় সাজোনৰ সমস্যাটোত ভুমুকি মাৰিলে । সমগ্ৰ গণিতসমাজক আশ্চৰ্য্যচকিত কৰি যোৱা ২০১৬ চনৰ মাৰ্চ মাহত তেতিয়াৰ ৩২ বৰ্ষীয় গণিতজ্ঞ মেৰিনাই কন আৰু এল্কিছৰ গৱেষণাপত্ৰৰ প্ৰস্তাৱিত সহায়ক ফলনটো বিচাৰি উলিয়াবলৈ সক্ষম হয় । এইদৰে ফলনটো ব্যৱহাৰ কৰি তেওঁ সহজ প্ৰমাণ এটাৰে অষ্টম মাত্ৰাত গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোৰ সমাধান দাঙি ধৰিলে ।

মেৰিনা ভিয়াজভস্কা (ফটো উৎস- https://magazine.paperhive.org)

১৯৮৪ চনত ইউক্ৰেইনত জন্মলাভ কৰা মেৰিনাৰ শৈশৱৰ পৰাই গণিত বিষয়টোত বিশেষ পাৰদৰ্শিতা থকা পৰিলক্ষিত হৈছিল । বিশেষকৈ গণিত অলিম্পিয়াডত অংশ লোৱাৰ পৰা তেওঁৰ বিষয়টোৰ প্ৰতি থকা আগ্ৰহ বৃদ্ধি পাইছিল । তদুপৰি হাইস্কুলত থাকোতে পঢ়া এখন কল্পবিজ্ঞান পুথিৰ মূল নায়ক আছিল এজন গণিতজ্ঞ । এই কাহিনীটোৱেও মেৰিনাৰ মনত যথেষ্ট প্ৰভাৱ পেলাইছিল আৰু ভৱিষ্যতে এগৰাকী গণিতজ্ঞ হোৱাৰ হেঁপাহে মনত গজালি মেলিছিল ।

কিয়েভত স্নাতকপৰ্য্যায়ৰ শিক্ষা লাভ কৰি থাকোতেই মেৰিনাই “ইন্টাৰনেশ্বনেল মেথমেটিকছ্ কম্পিটিশ্বন ফৰ ইউনিভাৰ্ছিটি ষ্টুডে’ন্টছ্” প্ৰতিযোগিতাটোত ২০০২ ৰ পৰা ২০০৫ চনলৈ ক্ৰমাগতভাৱে চাৰিবাৰকৈ অৱতীৰ্ণ হৈছিল, আৰু ইয়াৰে ২০০২ আৰু ২০০৫ চনত শীৰ্ষস্থানবোৰৰ এটা লাভ কৰিছিল । কিন্তু পিছলৈ গণিতৰ প্ৰতিযোগিতাবোৰৰ প্ৰতি মেৰিনাৰ অনীহাৰ ভাৱ আহিবলৈ ল’লে । মেৰিনাৰ অনুভৱ হ’বলৈ লৈছিল যে গণিতত গৱেষণা কৰাটোহে বেছি আকৰ্ষণীয় কাম হ’ব ।

ইয়াৰ পিছতে তেওঁ উচ্চশিক্ষা লাভৰ বাবে ইউক্ৰেইনৰ পৰা জাৰ্মানীলৈ আহিল । ইয়াৰ কাইজাৰ্শ্লটাৰ্ন্ চহৰত মাষ্টাৰ্ছ ডিগ্ৰি সম্পূৰ্ণ কৰাৰ পিছত ২০১৩ চনত বন বিশ্ববিদ্যালয়ৰ পৰা তেওঁ পি. এইচ. ডি. ডিগ্ৰি লাভ কৰে । পি. এইচ. ডি.ৰ সময়ত মেৰিনাৰ গৱেষণাৰ বিষয় আছিল মডুলাৰ ফলন (modular functions) নামৰ সংখ্যাতত্ত্বৰ লগত সম্পৰ্কিত এক বিশেষ শ্ৰেণী, যিটো বিষয় গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোৰ লগত ওতপ্ৰোতভাৱে জড়িত । পি. এইচ. ডি. সম্পূৰ্ণ হোৱাৰ পিছত মেৰিনাই প’ষ্টডক্টৰেল গৱেষণাৰ বাবে ‘বাৰ্লিন মেথমেটিকেল স্কুল’ আৰু বাৰ্লিনৰ হামব’ল্ট বিশ্ববিদ্যালয়ত যোগদান কৰে । সেই সময়তে মেৰিনাৰ বন্ধু তথা নৰৱেজিয়ান ইউনিভাৰ্ছিটি অৱ্ ছায়েন্স এণ্ড্ টেকন’ল’জিত কৰ্মৰত এন্দ্ৰি বন্দাৰেংক’ই মেৰিনাক কন আৰু এল্কিছৰ সেই গোলকীয় সাজোন সম্পৰ্কীয় গৱেষণাপত্ৰিকাখন দৃষ্টিগোচৰ কৰালে । মেৰিনা মূলতঃ মডুলাৰ ফলনৰে গৱেষক ছাত্ৰী হোৱা বাবে সমস্যাটো সমাধানৰ চেষ্টা কৰিবলৈ লগে লগে তেওঁৰ আগ্ৰহ জন্মিল । তেওঁ বুজি পালে যে ৮ম আৰু ২৪তম মাত্ৰাৰ গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোৰ সমাধান মাত্ৰ এখোজহে দূৰত আছে- কেনেবাকৈ সেই উপযুক্ত সহায়ক ফলক দুটা বিচাৰি উলিওৱা !

মেৰিনাৰ এই প্ৰচেষ্টাত এন্দ্ৰি বন্দাৰেংক’ আৰু জাৰ্মানীৰ মেক্স প্লাংক ইনষ্টিটিউট ফৰ মেথমেটিক্ছত কৰ্মৰত ডানিল’ ৰাডছেনক’য়েও সহযোগ কৰিলে । পিছলৈ এন্দ্ৰি আৰু ৰাডছেনক’ই সমস্যাটো সমাধান হোৱাৰ একো আশা নেদেখি নিৰুৎসাহিত হৈ আন সমস্যাত মনোনিৱেশ কৰিলে । কিন্তু মেৰিনাই এৰি নিদিলে । তেওঁ সেই কথা সুঁৱৰি পিছত কৈছে- “মোৰ এনে লাগিছিল যেন সেই সমস্যাটো কেৱল মোৰ বাবেই” । এইদৰে নিজৰ একান্ত উৎসাহত দুটা বছৰ ধৈৰ্য্যসহকাৰে লাগি থকাৰ পিছত শেষত মেৰিনাৰ বাবেও সেই ‘ইউৰেকা’ মুহূৰ্তটো আহিল । তেওঁ কন আৰু এল্কিছে প্ৰস্তাৱ আগবঢ়াই থোৱা সঠিক ফলনটোৰ সন্ধান পালে ! আৰু সেই ফলনটোৰ সহায়ত মাত্ৰ ২৩ পৃষ্ঠাৰ গৱেষণা পত্ৰিকা এখনেৰে মেৰিনাই অষ্টম মাত্ৰাত গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোৰ সমাধান দাঙি ধৰিবলৈ সক্ষম হ’ল । তেওঁৰ এই প্ৰমাণটো যোৱা ২০১৬ চনৰ ১৪ মাৰ্চত গৱেষণা পত্ৰিকা প্ৰকাশকাৰী ৱেবচাইট arXiv.org যোগে প্ৰকাশ পায় । এনেদৰে মেৰিনাৰ প্ৰমাণে সাব্যস্ত কৰিলে যে অষ্টম মাত্ৰাত E_8 জালিকা নামৰ সমমিত সাজোনটোৱেই আটাইতকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন ।

ফটো উৎস- quantamagazine.org

লক্ষ্যণীয় দিশটো হ’ল তৃতীয় মাত্ৰাৰ বাবে হেল্ছে আগবঢ়াই যোৱা বিয়াগোম সমাধানতকৈ মেৰিনাৰ এই সমাধানটো যথেষ্ট সৰল আৰু সুস্পষ্ট । কোনোধৰণৰ পূৰ্বধাৰণা নথকাকৈ শূন্যৰ পৰা এনে এটা ফলন উদ্ভাৱন কৰাটো সঁচাকৈয়ে মেৰিনাৰ এক চমৎকাৰী অৱদান । কেৱল অষ্টম মাত্ৰাৰ বাবেই নহয়; ইয়াৰ এসপ্তাহ পিছতে প্ৰায় অনুৰূপ পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি মেৰিনা, কন, অভিনৱ কুমাৰ, ডেনিল’ ৰাডছেনক’ আৰু ষ্টিফেন মিলাৰে যুটীয়াভাৱে ২৪ মাত্ৰাত লিচ্ছ্ জালিকাটোকে সবাতোকৈ ফলপ্ৰসূ সাজোন বুলি প্ৰমাণ কৰে । গোলকীয় সাজোনৰ ক্ষেত্ৰখনত মেৰিনাৰ এই অতি উল্লেখনীয় অৱদানৰ বাবে কম সময়ৰ ভিতৰতে তেওঁ চালেম প্ৰাইজ (২০১৬), ক্লে’ ৰিচাৰ্ছ্ এৱাৰ্ড (২০১৭), চাস্ত্ৰ ৰামানুজন প্ৰাইজ (২০১৭), নিউ হৰাইজনছ্ ইন মেথমেটিকছ্ প্ৰাইজ (২০১৮) আদি গণিতজগতৰ কেবাটাও আগশাৰীৰ সন্মান লাভ কৰিছে । গোলকীয় সাজোনৰ উপৰি ইতিমধ্যে গোলকীয় চানেকিৰ (spherical designs) লগত জড়িত কেবাটাও অনুমান প্ৰমাণ কৰিবলৈ সক্ষম হোৱা মেৰিনাই যোৱা জানুৱাৰী মাহৰ পৰা ছুইজাৰলেণ্ডৰ ইক’ল পলিটেকনিক ফেডাৰেল ডে’ লছেনত সংখ্যাতত্ত্বৰ এগৰাকী পূৰ্ণাংগ অধ্যাপকৰ আসনত নিযুক্তি পাইছে । এইবৰ্ষৰ (২০১৮) আগষ্ট মাহত ঘোষিত হ’বলগীয়া ফিল্ড্ছ মেডেলৰ সম্ভাৱ্য প্ৰাপকসকলৰ তালিকাত মেৰিনা ভিয়াজভস্কাৰ নামো প্ৰৱলভাৱে উচ্চাৰিত হৈছে ।

যদিও ভৱিষ্যতে কোনো বিক্ৰেতাই অষ্টম মাত্ৰাত কমলা বিক্ৰী কৰিবলৈ E_8 জালিকা ব্যৱহাৰ কৰাৰ সম্ভাৱনা নাই, তথাপি কিন্তু উচ্চতৰ মাত্ৰাত গোলকীয় সাজোন সমস্যাটোৰ ব্যৱহাৰিক মূল্য নোহোৱা নহয় । গোলকীয় সাজোনৰ ধাৰণাটো মূলতঃ বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ হয় ‘ভুল-শুধৰক সংকেত’ (error-correcting code) প্ৰস্তুত কৰাত । ‘ভুল-শুধৰক সংকেত’বোৰৰ বৈশিষ্ট্য এয়াই যে বিভিন্ন প্ৰতিৱন্ধক বা বাধাৰ মাজেৰে তথ্যসংকেত পৰিবহণ কৰোতে তথ্যখিনি কিছু বিকৃত হ’লেও লক্ষ্যস্থানত পুনৰাই মূল তথ্যখিনি চিনাক্ত কৰি উলিওৱা সম্ভৱ । ইয়াকে কৰিবলৈ তথ্যখিনিক উচ্চতৰ মাত্ৰাত থকা অতিগোলক এটাৰ কেন্দ্ৰবিন্দু হিচাপে ধৰি লোৱা হয় । ম’বাইল, মহাকাশ যান আৰু ইন্টাৰনেটৰ দ্বাৰা তথ্য পৰিবহণৰ বাবে ইতিমধ্যে ‘ভুল-শুধৰক সংকেত’ৰ ব্যৱহাৰ কৰি অহা হৈছে । অষ্টম মাত্ৰাৰ E_8 জালিকা জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ ষ্ট্ৰিং থিয়ৰিতো ব্যৱহাৰ হৈছে । ভয়েজাৰ যানৰ পৰা বৃহস্পতি আৰু শনিৰ ছবি যি সংকেতেৰে পৃথিৱীলৈ পঠোৱা হৈছিল, তাৰ লগত ২৪তম মাত্ৰাৰ লিচ্ছ্ জালিকাৰ মিল আছে । গতিকে দেখা গৈছে যে উচ্চতৰ মাত্ৰাৰ গোলকীয় সাজোনৰ সমস্যাটো কেৱল মাত্ৰ গণিতজ্ঞসকলৰ কৌতুহল নিবাৰণৰেই উৎস নহয়, ইয়াৰ ব্যৱহাৰিক প্ৰয়োজনীয়তায়ো আজিৰ জগতখনক বাৰুকৈয়ে চুই গৈছে ।

আজিৰ দিনলৈ এক, দুই, তিনি, আঠ আৰু চৌবিশ মাত্ৰাৰ বাদে আনবোৰ মাত্ৰাত সাজোনৰ সমস্যাটো এতিয়াও বুজিবলৈ বাকী । তথাপি আশা কৰা হৈছে যে মেৰিনাৰ এই আৱিষ্কাৰে আন মাত্ৰাবোৰতো গোলকীয় সাজোন সমস্যাটো সমাধানৰ ক্ষেত্ৰত এক নতুন গতি দিব । গতিকে গণিতজ্ঞ হেনৰি কনৰ ভাষাত ক’ব পাৰি- “গোলকীয় সাজোনক বুজাৰ ক্ষেত্ৰত এয়া আৰম্ভণিহে মাত্ৰ, সমাপ্তি নহয়” (This is the beginning of understanding sphere packings rather than the end) ।

(প্ৰৱন্ধটো মূলতঃ গণিতচ’ৰাৰ সম্পাদক মঞ্জিল প্ৰতিম শইকীয়াৰ আগ্ৰহত লিখা হৈছে । এইটো প্ৰস্তুত কৰোতে ইন্টাৰনেটত উপলব্ধ ভালেমান প্ৰৱন্ধ, মেৰিনা ভিয়াজভস্কাৰ দুটা সাক্ষাৎকাৰ আৰু ইউ টিউবৰ দুটামান ভিডিঅ’ৰ সহায় লোৱা হৈছে । ইয়াৰোপৰি প্ৰকাশৰ পূৰ্বে কিছু দিহা-পৰামৰ্শ আগবঢ়াই প্ৰৱন্ধটোৰ মান উন্নত কৰাত সহায় কৰা বাবে মঞ্জিল দালৈ অশেষ ধন্যবাদ থাকিল)

Advertisements

মন্তব্য প্ৰদান কৰক

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s