হিলবাৰ্টৰ অসীম কোঠাযুক্ত হোটেলখন

এখন হোটেলৰ কাহিনী এয়া। কিন্তু এইখন কোনো এলাপেচা হোটেল নহয়। হোটেলখনত চাৰি-পাঁচটা বা দহ-পোন্ধৰটা নহয়, একেবাৰে অসীমসংখ্যক কোঠা আছে। গতিকে এই হোটেলখন ইমানেই ওখ যে ওপৰৰ অংশটো আমি দেখাই নাপাম। অসীম কোঠাযুক্ত হোটেল এখন পৰিচালনা কৰাটোও বৰ সহজ কাম নহয়। সেইবাবে হোটেলখন পৰিচালনাৰ বাবে মালিকে এজন বুধিয়ক আৰু অংকত ভাল দখল থকা মানুহ নিয়োগ কৰিছে। এসময়ত হোটেলখনৰ আটাইবোৰ কোঠাতে এজনকৈ অতিথি থাকিবলৈ লোৱাত মালিকো অসীম পৰিমাণৰ ধনৰ গৰাকী হ’ল। এনে এখন বিশাল হোটেল চলাই মালিক-পৰিচালক দুয়ো বৰ সুখেৰে দিন অতিবাহিত কৰিবলৈ ল’লে।

এনেতে এদিন আৰু এজন মানুহে হোটেলখনলৈ কোঠা বিচাৰি আহিল। পৰিচালকজন বৰ চিন্তাত পৰিল। কেনেকৈ সম্পূৰ্ণ ভৰ্তি হোটেলখনত আৰু এটা কোঠা উলিওৱা যায়? কিন্তু সামান্য চিন্তা কৰিয়েই পৰিচালকজনে উপায় বিচাৰি পালে। তেওঁ প্ৰথম কোঠাত থকা মানুহজনক দ্বিতীয় কোঠালৈ, দ্বিতীয় কোঠাত থকা মানুহজনক তৃতীয় কোঠালৈ, তৃতীয় কোঠাত থকাজনক চতুৰ্থ কোঠালৈ, …… এনেকৈ যিকোনো nতম কোঠাত থকা মানুহজনক (n+১)তম কোঠালৈ যাবলৈ নিৰ্দেশ দিলে। খালী কোঠা নাথাকিলে সসীমসংখ্যক কোঠাযুক্ত হোটেল এখনত এই কামটো কৰা অসম্ভৱ। কাৰণ প্ৰতিজন লোকেই পৰৱৰ্তী কোঠাটোলৈ গ’লে একেবাৰে শেষৰ কোঠাত থকা লোকজনে যাবলৈ কোঠাই নাপাব। কিন্তু আমাৰ এই অসীম কোঠাযুক্ত হোটেলখনৰ ইয়াতেই বাহাদুৰি! অসীমৰ লগত ১ যোগ কৰিলেও অসীমেই নহয় জানো? গতিকে এই হোটেলখনৰ যিকোনো এজন লোকেই পৰৱৰ্তী কোঠাটোলৈ গুছি চাব পাৰিব। এইদৰে পৰিচালকজনে প্ৰতিজন লোককে পৰৱৰ্তী কোঠাটোলৈ যাবলৈ নিৰ্দেশ দিয়াৰ পিছত প্ৰথম কোঠাটো খালী হৈ পৰিল। এতিয়া প্ৰথম কোঠাটোত তেওঁ নৱাগত অতিথিজনক থকাৰ সুবিধা কৰি দিলে।

পৰিচালকজনৰ এই নতুন বুদ্ধিটোৱে কিছুদিন বেছ কাম দিলে। হোটেলখন ভৰ্তি হৈ থকাৰ পিছতো এতিয়া এজন-দুজন বা ১০-১৫জন নতুন অতিথি আহিলেও তেওঁৰ চিন্তা নাই। যদি কেতিয়াবা ১৫জনকৈও নতুন অতিথি থাকিবলৈ আহে; তেওঁ প্ৰথম কোঠাৰ মানুহজনক ১৬নং কোঠালৈ, দ্বিতীয়জনক ১৭নং কোঠালৈ, এনেকৈ বাকীবোৰকো ক্ৰমান্বয়ে পৰৱৰ্তী কোঠাসমূহলৈ পঠিয়াই দিয়ে। ফলত প্ৰথম ১৫ টা কোঠা খালী হৈ পৰিব আৰু এই ১৫টা কোঠাত তেওঁ সহজেই নতুন অতিথিকেইজনকো আশ্ৰয় দিব পাৰে।

কিন্তু এনেতে এদিন পৰিচালকৰ মগজুত পুনৰাই ভীষণ চাপ পৰিল, যেতিয়া তেওঁ দেখিলে যে এখন অসীম দীঘল বাছত অসীমসংখ্যক তীৰ্থযাত্ৰী তেওঁৰ হোটেলৰ দিশে আহি আছে। তেওঁৰ হোটেলত এটাও খালী কোঠা নাই, অথচ ইমানসংখ্যক লোকক একেলগে পোৱাৰ ডাঙৰ সুযোগ এটা তেওঁ হেৰুৱাবও নোখোজে। কিছুসময় চিন্তা কৰাৰ পিছত পৰিচালকজনে ভাল বুদ্ধি এটা বিচাৰি পালে। তেওঁ ১ম কোঠাৰ লোকজনক ২য় কোঠালৈ, ২য় কোঠাৰ লোকজনক ৪ৰ্থ কোঠালৈ, ৩য় কোঠাৰ লোকজনক ৬ষ্ঠ কোঠালৈ; এনেদৰে যিকোনো nতম কোঠাত থকা লোকজনক ২nতম কোঠালৈ যাবলৈ নিৰ্দেশ দিলে। ফলত পূৰ্বৰ আৱাসীখিনি কেৱল যুগ্ম সংখ্যাৰ কোঠাবোৰতহে থাকি গ’ল আৰু ১,৩,৫ আদি অযুগ্ম স্থানৰ অসীমসংখ্যক কোঠা তেওঁ খালী কৰি উলিয়ালে। এতিয়া তেওঁ সহজেই বাছখনৰ অসীমসংখ্যক তীৰ্থযাত্ৰীক খালী হোৱা অযুগ্মস্থানৰ কোঠাবোৰত ভৰাই দিলে। ফলত এইবাৰো তেওঁ হোটেলৰ প্ৰতিজন অতিথিকে পৃথক পৃথক কোঠা যোগান ধৰিবলৈ সক্ষম হ’ল। মন কৰিবলগীয়া যে হোটেলখনৰ কোনোটো কোঠাতেই এজনতকৈ অধিক অতিথি থাকিবলগীয়া হোৱা নাই। এনেদৰে সমস্যাটো সমাধান হোৱাত মালিকো খুচ-পৰিচালকো খুচ। তেওঁলোকৰ আয় অসীম পৰিমাণে বৃদ্ধি হোৱাৰ লগতে হোটেলখনৰ গৰিমাও চৌদিশে ৰজনজনাই যাবলৈ ধৰিলে।

কিন্তু দিন সদায় একেদৰে নাযায়। হোটেলখনৰ বৰ্ধিত খ্যাতিয়েও মালিক-পৰিচালকৰ সন্মুখত নতুন প্ৰত্যাহ্বানৰ সৃষ্টি কৰিলে। এদিন দেখা গ’ল যে অসীমসংখ্যক যাত্ৰীৰে সৈতে অসীমসংখ্যক বাছ হোটেলখনৰ দিশে আহি আছে। পৰিচালকজনে যিমান দূৰলৈ দেখা পালে; কেৱল বাছেই বাছ, আৰু ভিতৰত মানুহেই মানুহ! এইবাৰ কি কৰা যায়? পৰিচালক আকৌ মহা চিন্তাত পৰিল। ইফালে ইমানবোৰ অতিথিক বিমুখ কৰিবলগীয়া হ’লে তেওঁ মালিকৰ পৰাও ককৰ্থনা শুনিবলগা হ’ব। তেওঁৰ দৰমহা বৃদ্ধিৰ ডাঙৰ সুযোগ এটাও হেৰুৱাব লাগিব!

গভীৰ চিন্তাত মগ্ন হোৱাৰ পিছত বুধিয়ক পৰিচালকজনে এইবাৰো উপায় এটা ভাবি উলিয়ালে। প্ৰায় ৩০০ খ্ৰীষ্টপূৰ্বতে ইউক্লিডে কৈ থৈ যোৱা কথা এটালৈ তেওঁৰ মনত পৰিল। ইউক্লিডে প্ৰমাণ কৰি দেখুৱাইছিল যে মৌলিক সংখ্যাৰ শেষ নাই। অৰ্থাৎ মুঠ মৌলিক সংখ্যাৰ পৰিমাণ অসীম। ইয়াৰ ভিত্তিতে পৰিচালকজনে এই অসীমসংখ্যক অতিথিক কোঠা যোগান ধৰাৰ ৰাস্তা পাই গ’ল। ইউক্লিডক শতকোটি প্ৰণাম জনাই পৰিচালকে হোটেলত পূৰ্বৰ পৰা থকা আটাইবোৰ আৱাসীক সবাতোকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা ২ৰ ঘাত অনুসাৰে কোঠা ল’বলৈ ক’লে। অৰ্থাৎ ১ম কোঠাৰ আৱাসীজনক ২= ২ নং কোঠাত, ২য় কোঠাৰ আৱাসীজনক ২= ৪ নং কোঠাত, ৩নং কোঠাৰ আৱাসীজনক ২= ৮ নং কোঠাত, এনেদৰে পূৰ্বৰ আন সকলো আৱাসীকে ২ৰ ঘাত অনুসৰি তেওঁলোকৰ নিৰ্দিষ্ট কোঠালৈ যোৱাৰ নিৰ্দেশ দিলে। এইবাৰ প্ৰথমখন বাছৰ অসীমসংখ্যক অতিথিক তেওঁ দ্বিতীয় মৌলিক সংখ্যা ৩ৰ ঘাত অনুসাৰে কোঠা দিবলৈ ল’লে। ঘাত হিচাপে ল’লে যাত্ৰীজনৰ আসন নং। অৰ্থাৎ বাছখনৰ ১মজন যাত্ৰীক ৩= ৩ নং কোঠাত, ২য় যাত্ৰীক ৩= ৯নং কোঠাত, ৩য় যাত্ৰীক ৩= ২৭ নং কোঠাত, এনেকৈ বাছখনৰ আনবোৰ যাত্ৰীকো ৩ৰ পৰৱৰ্তী ঘাত অনুসৰি নিৰ্দিষ্ট কোঠা এটা বাছি দিলে। অনুৰূপভাৱে তেওঁ ২য় বাছখনৰ সমূহ যাত্ৰীক পৰৱৰ্তী মৌলিক সংখ্যা ৫ৰ ঘাত অনুসৰি, ৩য় বাছৰ যাত্ৰীক ৭ৰ ঘাত অনুসৰি, ৪ৰ্থ বাছখনৰ যাত্ৰীক ১১ৰ ঘাত অনুসৰি আৰু পৰৱৰ্তী বাছসমূহৰ যাত্ৰীকো ক্ৰমিকভাৱে পৰৱৰ্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ ঘাত অনুসাৰে কোঠা দি গ’ল। যিহেতু পৰিচালকে জানিছিল যে মৌলিক সংখ্যাৰ পৰিমাণ অসীম, সেইবাবে অসীমসংখ্যক বাছৰ বাবে এই পদ্ধতিৰে নিৰ্দিষ্ট কোঠা দিয়াত কোনো সমস্যা নহ’ব। আকৌ এটা মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতৰ সৈতে আন এটা মৌলিক সংখ্যাৰ কোনো ঘাত কেতিয়াও সমান নহয়। কাৰণ পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি ১তকৈ ডাঙৰ যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে সদায় এককধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। গতিকে এই পদ্ধতিৰ ফলত দুগৰাকী আগন্তুকে কেতিয়াও এটা কোঠাৰ বাবে বিবাদ কৰিবলগীয়া নহ’ব। বৰং ৬,১২,১৫ৰ দৰে কিছুমান সংখ্যাক কোনো মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি বাবে এইসমূহ কোঠা খালী ৰৈহে যাব। অৱশ্যে সেইটোক লৈ পৰিচালকে ইমান মূৰ ঘমোৱা নাই, কাৰণ সি জানে যে গণিতত গাধ মালিকজনে বহু কোঠা খালী ৰৈ গ’ল বুলি টলকিবই নোৱাৰিব। মুঠতে, এইবাৰো সকলো আগন্তুককে কোঠা যোগান ধৰিবলৈ পাই হোটেল পৰিচালক-মালিক দুয়ো বৰ সুখী হ’ল আৰু এনেদৰে অসীম ধনৰ ব্যৱসায় কৰি দুয়ো সুখে-সন্তোষে দিন কটাবলৈ ধৰিলে।

এয়াই আছিল অসীম কোঠাযুক্ত হোটেলখনৰ কাহিনী। যিহেতু প্ৰকৃতাৰ্থত এখন হোটেলত অসীম কোঠা থকা সম্ভৱ নহয়, এইটো অসীমৰ ধাৰণা সম্পৰ্কে এটা চিন্তা পৰীক্ষাহে (thought experiment)। ১৯২৪ চনত জাৰ্মান গণিতজ্ঞ ডেভিদ হিলবাৰ্টে এটা বক্তৃতাত পোনপ্ৰথমবাৰৰ বাবে এই চিন্তা পৰীক্ষাটোৰ কথা উল্লেখ কৰিছিল। ইয়াক “হিলবাৰ্টৰ প্ৰকাণ্ড হোটেলৰ সাঁথৰ” বা চমুকৈ “হিলবাৰ্টৰ সাঁথৰ” বুলিও জনা যায়। সাঁথৰ বুলি কোৱাৰ কাৰণ এয়াই যে সসীম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত আমি যিধৰণৰ ধাৰণা লওঁ, অসীমৰ ক্ষেত্ৰত সেইটো প্ৰযোজ্য হোৱা নাই। যেনে এখন ১৫টা কোঠাবিশিষ্ট হোটেলৰ ক্ষেত্ৰত যদি কোৱা হয় যে “হোটেলখনৰ প্ৰতিটো কোঠাতে অতিথি আছে” বা “নতুন অতিথি থাকিবলৈ কোঠা নাই” – এই দুয়োটা কথাৰ অৰ্থ একেটাই। কিন্তু অসীম সংখ্যক কোঠাৰ এই হোটেলখনত আমি দেখিলোঁ যে “প্ৰতিটো কোঠাতে অতিথি আছে” আৰু “নতুন অতিথি থাকিবলৈ কোঠা নাই” কথা দুটা সমাৰ্থক নহয়। আচলতে এই অসীম হোটেলখনত খালী কোঠাৰ কেতিয়াও অভাৱেই নহয়! পৰিচালকজনে কৰাৰ দৰে নিৰ্দিষ্ট কিছুমান বুদ্ধি বা যুক্তি খটুৱাই ভৰ্তি হৈ থকা হোটেলখনতে খালী কোঠা উলিয়াই ল’ব পাৰি।

অসীম সংখ্যাৰ এনেধৰণৰ বিসদৃশ বৈশিষ্ট্যসমূহ যথেষ্ট আমোদজনক। আমাৰ এনে লাগিব পাৰে যে অসীম মানে অসীমেই। কিন্তু অসীম সংখ্যাৰো ভাগ আছে, সৰু-ডাঙৰ আছে। অসীম সংখ্যাৰ এই স্তৰসমূহৰ বিষয়ে প্ৰথম প্ৰণালীবদ্ধভাৱে চিন্তা-চৰ্চা কৰিছিল গণিতজ্ঞ জৰ্জ কেন্টৰে। তেওঁ অসীম সংখ্যাৰ সংহতিটোক কেইটামান স্তৰত ভাগত কৰিছিল। কেৱল স্বাভাৱিক সংখ্যাৰে গঠিত হিলবাৰ্টৰ হোটেলখনৰ আটাইবোৰ কোঠাৰ নং অসীম সংখ্যাৰ নিম্ন বা প্ৰথম স্তৰটোতে সীমাৱদ্ধ। আকৌ বাস্তৱ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত অসীম সংখ্যাৰ সংহতিটো দ্বিতীয় স্তৰৰ। কেন্টৰৰ পদ্ধতিৰে প্ৰমাণ কৰিব পাৰি দেখুৱাব পাৰি যে স্বাভাৱিক, অখণ্ড, পৰিমেয় বা বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি- এই আটাইকেইটাই অসীম হ’লেও বাস্তৱ সংখ্যাৰ অসীমটো বাকীকেইটা অসীমতকৈ ডাঙৰ বা পৰৱৰ্তী স্তৰৰ। কিন্তু স্বাভাৱিক, অখণ্ড আৰু পৰিমেয় সংখ্যাৰ অসীম সংহতিকেইটাৰ মাত্ৰা সমান। সেইবাবে হিলবাৰ্টৰ হোটেলখনলৈ যদিহে এনেকুৱা এখন বাছ আহে য’ত প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবেই এটা ছীট থাকে, তেন্তে সিমানখিনি মানুহক পৰিচালকজনে কোঠা দিবলৈ সক্ষম নহ’লহেঁতেন। আনফালে হোটেলখনতো যেনিবা প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাক লৈ কোঠা নং আছে; অৰ্থাৎ প্ৰতিটো ঋণাত্মক সংখ্যাক লৈ কোঠা নং আছে (বা আন কথাত মাটিৰ তলফালেও কোঠা আছে); প্ৰতিটো ভগ্নাংশক লৈ কোঠা নং আছে; ২,৩ৰ বৰ্গমূল বা πৰ দৰে অপৰিমেয় সংখ্যাক লৈ কোঠা আছে; তেনেক্ষেত্ৰতো হোটেলখন পৰিচালনা কৰাটো বৰ সহজ কাম নহ’লহেঁতেন। খালী কোঠা বিচাৰি উলিয়াব নোৱাৰি অলপধতুৱা পৰিচালকে কিছুমান যাত্ৰীক বিমুখ কৰিবলৈ বাধ্য হ’লহেঁতেন। কিন্তু জ্ঞানী পৰিচালকৰ বাবে তেনেকুৱা কিছুমান হোটেলত তেতিয়াও কোঠা উলিওৱাটো সম্ভৱ; মাথোঁ গ্ৰাহকৰ সংখ্যা অনুসৰি আন কিছুমান তেনে হোটেলতহে সম্ভৱ নহয়।

তথ্যসূত্ৰ:
১) জৰ্জ গেম’ৰ “One Two Three… Infinity”
২) টনী ক্ৰিলীৰ “The Big Questions:Mathematics”
২) Ted-Edৰ ভিডিঅ’ আৰু ইন্টাৰনেটত উপলব্ধ আন কেইটামান প্ৰৱন্ধ

(লেখাটোত দুটামান শুধৰণি কৰি দিয়া বাবে গণিতচ’ৰাৰ সম্পাদক পংকজ জ্যোতি মহন্ত দাদাক অশেষ ধন্যবাদ জনাইছোঁ)

[“অসম গণিত শিক্ষায়তন”ৰ গোলাঘাট শাখাই উলিওৱা “গণিত উৎকৰ্ষ” আলোচনীত (প্ৰথম সংখ্যা) প্ৰকাশিত]